Michael Schlottke-Lakemper, Manuel Torrilhon
Universität Augsburg
"""
# ╔═╡ ca62b71f-6771-4899-8648-fbf79c131c44
md"""
# 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
"""
# ╔═╡ ba90da9d-465a-472d-a493-bbfef82158ed
md"""
Viele dynamische Prozesse sind charakterisiert durch die Rate der Änderung eines Zustandes, das heißt, die Ableitungen bestimmter Größen sind gegeben.
"""
# ╔═╡ a9ca5c02-d36b-4b6e-b44a-f56e3452c387
md"""
##### Definition:
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion ``y(x)``, in der die unabhängige Variable ``x \in \mathbb{R}``, der Funktionswert ``y(x)`` und Ableitungen ``y'(x), y''(x)`` vorkommen.
``\mathcal{F}(x,y(x), y'(x), y''(x), \dots) = 0``
"""
# ╔═╡ 8a690fb6-713e-4cc4-8c1e-5562160be3dc
md"""
##### Beispiele:
1. ``y'(x) = x^2 \leadsto y(x) = \frac13 x^3 + c \qquad c \in \mathbb R`` beliebig
2. ``y'(x) = y(x) \leadsto y(x) = ce^x \qquad c \in \mathbb R`` beliebig
3. ``y'(x) = -y(x)^2 \leadsto y(x) = \frac1{x + c} \qquad c \in \mathbb R`` beliebig
4. ``y''(x) = -y(x) \leadsto y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x \qquad c_{1,2} \in \mathbb R`` beliebig
"""
# ╔═╡ d04e0712-043d-421b-8da7-d0d88c7667ad
md"""
### 6.1 Klassifikation
"""
# ╔═╡ f95fb5ed-826e-4fd1-ab54-333094ea4b3d
md"""
1. _Differentialgleichung_: Eine Gleichung für eine unbekannte reellwertige Funktion ``y : \mathbb R \to \mathbb R``.
``\qquad`` _Differentialgleichungssystem_: Mehrere Gleichungen für eine vektorwertige Funktion ``y: \mathbb R \to \mathbb R^n``
"""
# ╔═╡ 5a5509ca-0429-4bd3-9971-28d898f05b48
md"""
##### Beispiel:
1. ``y' + xy = 1``, ``y(x) =\; ?``
2. ``y_1' = y_2, y_2'=y_1 \qquad \underline y(t) = \begin{pmatrix} y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix} = \; ?``
"""
# ╔═╡ 1cca3c1c-899d-4b9d-8d28-87c498075636
md"""
2. _gewöhnliche_ Differentialgleichung: Nur eine abhängige Variable ``x`` für ``y: \mathbb R \to \mathbb R^n, x \mapsto y(x)``
``\qquad`` _partielle_ Differentialgleichung: Mehrere abhängige Variablen ``x_1,x_2,\dots``
``\qquad y: \mathbb R^m \to \mathbb R^n, \underline x \mapsto \underline y(\underline x)``
"""
# ╔═╡ 10db7391-dd65-4f9e-9441-bf90dc2621b9
md"""
##### Beispiel:
1. ``y'(x) \cdot x = y(x), y(x) =\; ?``
2. ``\frac{\partial y}{\partial x_1} + \frac{\partial y}{\partial x_2} = 0, y(x_1,x_2) = \; ?``
"""
# ╔═╡ 2b1891d2-369e-4d5d-8b51-44fddc6e6428
md"""
3. _Ordnung_ ``p``: Eine Differentialgleichung enthält die Ableitungen ``y,y',\dots, y^{(p)}``.
4. _lineare_ Differentialgleichung: ``y, y', y'', \dots`` treten nur linear auf, das heißt, ``\sum_{k=0}^p a_k(x) y^{(k)}(x) = f(x)``. Ein Spezialfall sind _konstante_ Koeffizienten: ``\sum_{k=0}^p a_k y^{(k)}(x) = f(x)``
"""
# ╔═╡ 2e3dace1-dff5-4a99-9a66-9d665499099e
md"""
##### Beispiel:
_Linear_: ``y'' - 3xy' + e^{2x}y = \sin x``
_Linear mit konstanten Koeffizienten_: ``y'' + 3y' + 5y = \sin x``
_Nicht-Linear_: ``y \cdot y'' + \sin(y') = y``
"""
# ╔═╡ 80aa99c5-adb8-4309-9e4c-0888d4fb70c9
md"""
5. _autonome_ Differentialgleichung: Die unabhängige Variable ``x`` tritt nicht explizit auf.
"""
# ╔═╡ 429ccc0d-9037-4157-a418-f8e857c88008
md"""
##### Beispiel:
_Autonom:_ ``y'' + y^2 = \sin y``
_Nicht autonom_: ``y' + xy = 0``
"""
# ╔═╡ f6cd1979-7b43-4e2d-94de-edcfe63e3374
md"""
##### Bemerkung:
1. Wir betrachten jetzt ausschließlich _gewöhnliche_ Differentialgleichungen (englisch: Ordinary Differential Equations, ODE; Partial Differential Equations, PDE).
2. Die unabhängige Variable ist oft die Zeit $t\in\mathbb{R}$ und die unbekannte Funktion ``x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n, t\mapsto x(t).`` Ableitungen nach der Zeit werden auch geschrieben als ``\dot{x}(t)\equiv x'(t).``
3. Eine unbekannte Funktion ``y(x)`` wird durch eine ODE nicht eindeutig festgelegt. In der Lösung für ``y(x)`` treten ``p`` "Integrationskonstanten" auf (für ODEs ``p``-ter Ordnung).
"""
# ╔═╡ 341adef4-0231-4f6c-827c-8fc48249965a
md"""
##### Definition:
Für ``y:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n, t \mapsto y(t)`` heißt die Differentialgleichung ``p``-ter Ordnung
``\mathcal F\left(t,y(t),y'(t),\dots,y^{(p)}(t)\right)=0``
mit den $p$ Bedingungen ``y(0)=y_0,\; y'(0)=y_1,\;\dots,\; y^{(p-1)}(0) = y_{p-1}`` (``y_{0,1,\dots, p-1}`` gegeben) _Anfangswertproblem_.
"""
# ╔═╡ 98cb2081-b5b4-4648-aaff-596324f9124b
md"""
##### Beispiel: gedämpftes Federpendel
"""
# ╔═╡ 87b1eb41-08e1-44ec-8afb-8c8f4c141e25
RobustLocalResource("https://github.com/hpsc-lab/lecture-notes-math1_dev/raw/1dbdf8076e38678cba0e432bc7a80ecb1496cbbf/notebooks/assets/federpendel.svg","./assets/federpendel.svg")
# ╔═╡ 5ed9e97a-185d-4f75-b62c-63c33dea4361
md"""
Kräftegleichgewicht (Newton)
``m \ddot x(t) = \underbrace{\text F_{\text{Feder}}}_{= -cx(t)} + \underbrace{\text F_{\text{Dämpfer}}}_{= - b \dot x(t)}``
``\Rightarrow m \ddot x(t) + b \dot x(t) + cx(t) = 0 \quad`` (lineare ODE mit konstanten Koeffizienten 2-ter Ordnung)
Anfangswertproblem ``x(0) = x_0,\; \dot x(t) = v_0``
"""
# ╔═╡ 4d63616f-3d34-4b73-af8f-34b7d41d0aa1
md"""
##### Beispiel: chemische Reaktion
``A \xrightarrow{\lambda} B \quad B \xrightarrow{\mu} C`` mit Reaktionsraten ``\lambda, \mu``:
``\begin{align*} x(t)\; &\text{Konzentration von}\; A \qquad x'(t) = - \lambda x(t) \\ y(t)\; &\text{Konzentration von}\; B \qquad y'(t) = \lambda x(t) - \mu y(t) \\ z(t)\; &\text{Konzentration von}\; C \qquad z'(t) = \mu y(t) \end{align*}``
Anfangsbedingungen ``x(0) = x_0,\; y(0) = 0,\; z(0) = 0``
"""
# ╔═╡ 311438e7-e151-4ecb-a414-224b531a8f4b
md"""
##### Beispiel: Lorenz-Model für instabile Konvektion ("Wetter")
``\begin{align*} x'(t)&=\sigma(y(t)-x(t)) \\ y'(t)&=\rho x(t)-x(t)z(t)-y(t) \\ z'(t)&=x(t)y(t)-\beta z(t) \end{align*}``
mit den Parametern ``\sigma, \rho, \beta``
"""
# ╔═╡ 74744f10-f476-48c1-a385-6b2a3b78941a
md"""
##### Satz:
Ein ODE-System $p$-ter Ordnung ``\mathcal F\left(t,y(t),y'(t),\dots,y^{(p)}(t)\right)=0 `` für $y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ lässt sich durch Erweiterung der
unbekannten Funktion `` u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{p \cdot n} `` in ein ODE-System 1-ter Ordnung umwandeln.
"""
# ╔═╡ d46c4ffc-b622-41db-81ef-4e74f6850ed8
md"""
##### Beweis:
Definiere ``y_1(x) = y(x),\; y_2(x) = y'(x), \dots, y_p(x) = y^{(p-1)}(x)``. Es gilt:
``\left.\begin{align*} y_1'(x)\; (=y'(x)) &= y_2(x) \\ y_2'(x)\; (=y''(x)) &= y_3(x) \\ \vdots \\ y_{p-1}'\hspace{2.1cm} &= y_p(x) \end{align*}\right\} \; p \cdot m \text{ Gleichungen}``
Gleichung für ``y_p'(x): \mathcal F(x,y_1,y_2,y_3,\dots, y_{p-1}, y_{p-1}') = 0``
Neue Unbekannte ``u: \mathbb R \to \mathbb R^{pn}, x \mapsto \begin{pmatrix} y_1(x)\\y_2(x)\\\vdots\\y_p(x) \end{pmatrix}``
Nun treten nur 1-te Ableitungen auf.
"""
# ╔═╡ 5c0813d3-7365-4f78-ae57-4eb3ebd8a268
md"""
##### Beispiel:
``y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto y(x) =\; ?`` mit `` y'''(x)+\sin\left(y''(x)\right) + y(x)y'(x)=0``
Definiere ``y_1=y,\quad y_2=y',\quad y_3=y''``
ODE-System:
``\begin{align*} y_1'&=y_2 \\ y_2'&=y_3 \\ y_3'&= y''' =-\sin\left(y''\right)-y y'=-\sin y_3-y_1 y_2. \end{align*}``
"""
# ╔═╡ ca265014-0b8a-4dcf-b120-e95716040889
md"""
##### Beispiel:
`` y:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, y''+b y'+cy=0 ``
`` y_1=y,\quad y_2=y' ``
führt auf
``\begin{align*} y_1'&=y_2 \\ y_2'&=y'' = -by'-cy = -by_2-cy_1 \end{align*}``
"""
# ╔═╡ 22f17215-1475-422e-b2bf-3bb7dcc7caac
md"""
##### Bemerkung:
Es genügt also ODE-Systeme 1-ter Ordnung zu betrachten. Zunächst skalar.
"""
# ╔═╡ cd017a3e-f1dd-4fce-bef8-76ac37992174
md"""
### 6.2 Skalare GDGln 1-ter Ordnung
"""
# ╔═╡ 6ce7263b-8ec8-4c07-bb4a-0066c4a902dd
md"""
Wir nehmen an ``\mathcal F(x,y(x),y'(x))=0`` lässt sich nach ``y'(x)`` auflösen: ``y'(x)=f(x,y(x)) \qquad `` (``f`` heißt "rechte Seite")
"""
# ╔═╡ 8f9cf45f-32ed-4112-b62d-c96f4fd3f237
md"""
##### Interpretation:
Gesucht sind die Kurven ``y(x)``, deren Ableitung in jedem Punkt ``x = x_0`` durch den Wert ``f(x_0, y(x_0))`` gegeben sind.
"""
# ╔═╡ 7b21aabe-1ee7-4065-88c4-4482fad5cf29
RobustLocalResource("https://github.com/hpsc-lab/lecture-notes-math1_dev/raw/1dbdf8076e38678cba0e432bc7a80ecb1496cbbf/notebooks/assets/richtungsfeld.svg", "./assets/richtungsfeld.svg")
# ╔═╡ 1acd7400-ecee-41ee-a5e3-467a11af07a0
md"""
##### Beispiel:
``y' = - \frac xy``
"""
# ╔═╡ 3047981c-a20c-4e45-99d2-7493a77dc468
RobustLocalResource("https://github.com/hpsc-lab/lecture-notes-math1_dev/raw/1dbdf8076e38678cba0e432bc7a80ecb1496cbbf/notebooks/assets/richtungsfeld2.svg","./assets/richtungsfeld2.svg")
# ╔═╡ e5630a85-a00b-400d-b0dc-de1ce32bda0b
md"""
"Formale" Lösung durch Integration.
``y'(x) = f(x, y(x)) \Rightarrow \int y'(x) \;\text{d}x = \int f(x, y(x)) \;\text{d}x``
also ``y(x) + c = \int f(x, y(x)) \;\text{d}x``. Das ist nur im Allgemeinen nicht explizit möglich.
"""
# ╔═╡ 1eb5ec8d-21e5-4f3d-9eff-34fb858cdf10
md"""
##### Satz/Definition:
Die ODE
`` y'(x)=g(x) \cdot f(y(x))`` für ``y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}`` heißt Differentialgleichung mit _getrennten Variablen_. Für die Lösung ``y(x)`` gilt die implizite Gleichung:
``\int \frac{1}{f(y)} \;\text{d}y =\int g(x) \;\text{d}x``
"""
# ╔═╡ df6e7a3f-31bb-4be3-aa1e-cec4f4971e2b
md"""
##### Beweis:
Es gilt `` \frac{1}{f(y(x))}\,y'(x)=g(x) `` nach Integration:
`` \int \frac{1}{f(y(x))}y'(x) \;\text{d}x =\int g(x)\;\text{d}x \quad \Leftrightarrow \quad \int \frac{1}{f(y)}\;\text{d}y =\int g(x)\;\text{d}x ``
Durch Substitution ``y=y(x), \; \text dy=y'(x)\; \text dx``.
"""
# ╔═╡ 1a86fd74-decd-428f-9364-76c5261f17e1
md"""
##### Beispiel 1:
`` y'=e^y\sin x ``, das heißt `` f(y)=e^y,\; g(x)=\sin x``
Lösung:
`` \int \frac{1}{e^y} \;\text{d}y =\int \sin x \;\text{d}x ``, also `` -e^{-y}+c_1=-\cos x+c_2 ``
Auflösen nach $y$: `` e^{-y}=\cos x\; \underbrace{-\; c_1 - c_2}_{+ c,\; c \in \mathbb{R}} ``
`` \Rightarrow y(x)=-\ln(\cos x+c). ``
"""
# ╔═╡ b618c146-8531-4192-86f9-d4c3174e9835
md"""
##### Beispiel 2:
`` y'=-y^2 `` , das heißt `` f(y)=-y^2,\; g(x)=1 ``
Lösung:
`` -\int \frac{1}{y^2} \;\text{d}y =\int 1 \;\text{d}x \qquad \frac{1}{y}+c_1=x+c_2 ``
Auflösen: `` \frac{1}{y}=x+\underbrace{c_2-c_1}_{c} ``
`` y(x)=\frac{1}{x+c}, \quad c\in\mathbb{R} ``
"""
# ╔═╡ 8aa9cf54-f4f0-491f-a407-033d10fa6d5b
md"""
##### Beispiel 3:
`` y'=2xy `` , das heißt `` f(y)=y,\; g(x)=2x ``
`` \int \frac{1}{y} \;\text{d}y =\int 2x \;\text{d}x ``
`` \ln y=x^2+c ``
`` y(x)=e^{x^2+c}=\tilde c e^{x^2} ``
"""
# ╔═╡ ab1d6a41-381f-432b-9d8a-bb6c362538d4
md"""
##### Beispiel 4:
``y'= y^2 + x^2``. Nicht getrennte Variablen!
"""
# ╔═╡ 8060a6b1-96e6-4d5b-87f5-d2e682c98a9f
md"""
##### Bemerkung:
1. Die Integrationskonstante ergibt sich zum Beispiel aus einer Anfangsbedingung ``y(x_0) = y_0``. Etwa zum ersten Beispiel: ``y(0) = 0 \Rightarrow \ln(\cos(0) + c) = \ln(1 + c) \overset != 0 \Rightarrow c = 0``. In zweiten Beispiel etwa ``y(0) = 1 \Rightarrow \frac1{0 + c} \overset!= 1 \Rightarrow c = 1``.
2. Achtung, falls ``f(y) = 0`` (Division durch 0!) für bestimmte y, muss man diese separat untersuchen.
3. Manche nicht-getrennten ODEs lassen sich per Transformation "trennen", zum Beispiel ``y' = f\left(\frac yx\right)`` ("Ähnlichkeits-Differentialgleichung"). Transformation ``u(x) = \frac{y(x)}{x} \Rightarrow u'(x) = \frac1x y'(x) - \frac{y(x)}{x^2} = \frac1x\left(f\left(\frac yx\right)- \frac yx \right)``. Das heißt, ``u'(x) = \frac1x \left(f(u(x)) - u(x) \right)``. Getrennte Variablen!
"""
# ╔═╡ 171a6d90-485d-4428-84d0-c2ca9794ea7d
md"""
### 6.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordung
``y'(t) + a(t)y(t) = f(t)``
"""
# ╔═╡ 650bc057-71fc-4bc1-ae82-b57be6e8fac6
md"""
##### Definition:
Für ``f \equiv 0`` heißt die ODE _homogen_, ansonsten _inhomogen_.
"""
# ╔═╡ 0b02acee-b43b-4488-9f7b-74b8387709dc
md"""
##### Lösungscharakterisierung:
Die allgemeine Lösung hat die Form `` y(t)=y_{\text{hom}}(t)+y_{\text{inh}}(t), `` wobei $y_{\text{hom}}(t)$ die homogene Gleichung erfüllt und Integrationskonstanten enthält und $y_{\text{inh}}(t)$ irgendeine feste Lösung der inhomogenen Gleichung ist.
(Beweis durch Einsetzen: ``\underbrace{y_{\text{hom}}'+a(t)y_{\text{hom}}}_{=0} +y_{\text{inh}}'+a(t)y_{\text{inh}}=f(t). \;\checkmark``)
"""
# ╔═╡ fe071574-b49f-4948-97e1-ef4fb0f91174
md"""
##### Beispiel:
``y'(t) + y(t) = 1``.
Homogen ``y' + y = 0,\; y_{\text{hom}}(t) = ce^{-t}``.
Inhomogen ``y' + y = 1``, etwa ``y_{\text{inh}}(t) = 1``.
Allgemeine Lösung ``y(t) = ce^{-t} + 1``
"""
# ╔═╡ cb5715f8-73f1-4bad-b2de-d7e32b0927b1
md"""
##### Rezept:
1. ``y_{\text{hom}}:`` Sei ``A(t)=\int a(t)\;\text{d}t `` eine Stammfunktion
``\qquad \Rightarrow y_{\text{hom}}(t) = c e^{-A(t)},`` denn
``y_{\text{hom}}'(t)=-A'(t)c e^{-A(t)}=-a(t)y_{\text{hom}}(t)``
2. ``y_{\text{inh}}:$ Ansatz $y(t)=\underbrace{c(t)}_{??} e^{-A(t)}`` ("Variation der Konstanten")
``\qquad`` Einsetzen: ``y'(t)=c'(t)e^{-A(t)}+c(t)\big(-\underbrace{A'(t)}_{=a(t)}\big)e^{-A(t)} ``
``\qquad c'(t)e^{-A(t)}\underbrace{-c(t)a(t)e^{-A(t)}+a(t)c(t)e^{-A(t)}}_{=0}=f(t) ``
``\qquad \Rightarrow c'(t)=f(t)e^{A(t)} ``
``\qquad \text{also }\; c(t)=\int f(t)e^{A(t)} \;\text{d}t ``
``\qquad y_{\text{inh}}(t)=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)} \;\text{d}t ``, wähle feste Integrationskonstante.
"""
# ╔═╡ 20c4df93-bd36-43c8-b5b3-219925d5725d
md"""
##### Beispiel:
Gegeben sei
``y'+ty=t``, also ``a(t)=t`` und ``f(t)=t``.
Es gilt: $y_{\text{hom}}$ erfüllt
`` y'+ty=0, \quad a(t)=t, \quad A(t)=\frac{1}{2}t^2 ``
`` \Rightarrow y_{\text{hom}}(t)=C e^{-\frac{1}{2}t^2} ``.
Ansatz für die inhomogene spezielle Lösung durch Variation der Konstanten:
`` y_{\text{inh}}(t)=c(t)e^{-\frac{1}{2}t^2} ``.
Wir wissen, dass
`` y_{\text{inh}}(t) =e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}\,dt =e^{-\frac{1}{2}t^2}\int t e^{\frac{1}{2}t^2}\,dt =e^{-\frac{1}{2}t^2}\left(e^{\frac{1}{2}t^2}+C\right). ``
Da wir "nur" eine spezielle Lösung suchen, können wir $C=0$ wählen und daher
`` y_{\text{inh}}(t)=1 ``.
Damit ergibt sich
`` y(t)=C e^{-\frac{1}{2}t^2}+1.``
"""
# ╔═╡ 1b87e7be-93be-4171-a6aa-73fa241d1462
md"""
##### Beispiel: chemische Reaktion
`` A \xrightarrow{\lambda} B,\qquad B \xrightarrow{\mu} C \quad `` mit Anfangsbedingungen `` x(0)=1,\qquad y(0)=0,\qquad z(0)=0. ``
Die Funktionen $x(t),y(t),z(t)$ stehen für die Konzentration der Substanzen
$A,B,C$ zum Zeitpunkt $t$. Es gilt
``\begin{align*} x'&=-\lambda x, \\ y'&=\lambda x-\mu y, \\ z'&=\mu y. \end{align*} ``
Daher
`` x'=-\lambda x \Rightarrow x(t)=Ce^{-\lambda t}``, kombiniert mit dem Anfangswert $x(0)=1$ erhält man `` 1=x(0)=Ce^0=C`` und daher ``x(t)=e^{-\lambda t}. ``
Da nun $x(t)$ bestimmt ist, erhalten wir für $y(t)$
`` y'=\lambda e^{-\lambda t}-\mu y \Leftrightarrow y'+\mu y=\lambda e^{-\lambda t}, ``
also eine lineare Differentialgleichung mit $a(t)=\mu$ und
$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$. Die homogene Lösung $y_{\text{hom}}$
ist gegeben durch
`` y_{\text{hom}}(t)=Ce^{-\mu t} ``
und erfüllt $y'+\mu y=0$. Die inhomogene Lösung $y_{\text{inh}}$ ist
von der Form
`` y_{\text{inh}}(t)=c(t)e^{-\mu t} ``
mit
`` c'(t)=f(t)e^{A(t)}=\lambda e^{(\mu-\lambda)t}. ``
also `` c(t)=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}e^{(\mu-\lambda)t}, `` für ``\mu\neq\lambda``, ansonsten gilt ``c(t)=\lambda t``. Das heißt, `` y_{\text{inh}}(t)=c(t)e^{-\mu t} =\frac{\lambda}{\mu-\lambda}e^{-\lambda t}, `` und daher `` y(t)=Ce^{-\mu t}+\frac{\lambda}{\mu-\lambda}e^{-\lambda t}.``
Die Anfangsbedingung ergibt:
`` y(0)=0 \quad\Rightarrow\quad C+\frac{\lambda}{\mu-\lambda}=0 \quad\Leftrightarrow\quad C=-\frac{\lambda}{\mu-\lambda}, `` und `` y(t)=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\bigl(-e^{-\mu t}+e^{-\lambda t}\bigr). ``
Betrachte jetzt noch $z(t)$. Es gilt `` z'=\mu y=\frac{\mu\lambda}{\mu-\lambda}\bigl(-e^{-\mu t}+e^{-\lambda t}\bigr). ``
Durch direkte Integration erhält man `` z(t)=\frac{\mu\lambda}{\mu-\lambda} \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}+\frac{1}{\mu}e^{-\mu t}\right)+C.
``
Durch die Anfangsbedingung $z(0)=0$ ergibt sich (für $\mu\neq\lambda$): `` \frac{\mu\lambda}{\mu-\lambda} \left(-\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}\right)+C=0 \quad\Leftrightarrow\quad C=1, `` und `` z(t)=1+\frac{\mu\lambda}{\mu-\lambda} \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}+\frac{1}{\mu}e^{-\mu t}\right). ``
"""
# ╔═╡ 1994c87d-0fdd-4cfc-b290-f892ef68c2bf
RobustLocalResource("https://github.com/hpsc-lab/lecture-notes-math1_dev/blob/1dbdf8076e38678cba0e432bc7a80ecb1496cbbf/notebooks/assets/AWP.svg", "./assets/AWP.svg")
# ╔═╡ 493f5c9c-9590-483a-9ec4-c941822b485e
md"""
##### Bemerkung:
Betrachte das AWP `` y'+\alpha y=f(t),\; y(0)=y_0. ``
Es gilt `` y_{\text{hom}}=Ce^{-\alpha t},\quad y_{\text{inh}}=c(t)e^{-\alpha t},\quad c'(t)=f(t)e^{\alpha t}. ``
Wir schreiben `` c(t)=\int_0^t f(s)e^{\alpha s}\; \text ds \;\Rightarrow\; y(t)=Ce^{-\alpha t}+e^{-\alpha t}\int_0^t f(s)e^{\alpha s}\; \text ds. ``
Aus $y(0)=y_0$ folgt $C=y_0$, also `` y(t)=y_0 e^{-\alpha t} +\int_0^t f(s)e^{-\alpha(t-s)}\; \text ds. ``
Substitution $s=t-\tau$, $\text ds=- \text d\tau$: `` y(t)=y_0 e^{-\alpha t} +\int_0^t f(t-\tau)e^{-\alpha \tau}\; \text d\tau. ``
"Gedächtnis-Integral":
$f$ wird in die Vergangenheit hinein abgetastet, aber mit $e^{-\alpha \tau}$ schwindet der Einfluss.
"""
# ╔═╡ 2dabf1a7-43f9-4b98-a0cb-28907f5cc7d2
md"""
##### Bemerkung:
Eine nicht-lineare ODE in der Form `` y'=a(t)y+b(t)y^p `` lässt sich per Transformation in eine lineare überführen (Bernoulli-DGL).
`` u(t)=y(t)^{1-p} \quad \Rightarrow \quad \begin{align*} u'(t)&=(1-p)y^{-p}y'(t)\\ &=(1-p)y^{-p}\left(a(t)y+b(t)y^p\right)\\ &=(1-p)\left(a(t)y^{1-p}+b(t)\right)\end{align*}.``
`` \Rightarrow u'(t)=(1-p)\left(a(t)u(t)+b(t)\right)`` (linear!).
"""
# ╔═╡ d845f482-cfbc-45d1-a1b1-e97b5c305f62
md"""
### 6.4 Existenz und Eindeutigkeit eines AWP
Wir fragen grundsätzlich, ob die Gleichung ``y'(t) = f(t, y(t))`` mit ``y(t_0) = y_0`` und ``y: \mathbb R \to \mathbb R^n`` eine Lösung besitzt.
Für eine allgemeine rechte Seite ``f`` ist dies nicht klar. (Bsp.: Existenz von Nullstellen)
Wir nehmen mal an, ``y:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n`` ist die Lösung auf einem Intervall ``I\subset\mathbb{R}`` und `` f:I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n `` sei stetig. Dann gilt die Darstellung
``y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,y(s))\; \text ds`` für ``t\in I``
Wir definieren den Operator `` T: \text C_0[I]\to \text C_0[I] `` mit `` u\mapsto T(u),`` so, dass `` T(u)(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,u(s)) \;\text{d}s ``
Es gilt `` y\in C_0[I]`` ist Lösung von ``\begin{cases} y'=f(t,y),\\ y(t_0)=y_0 \end{cases} \Leftrightarrow y\in C_0[I]\text{ ist Fixpunkt, } y=T(y). ``
``\leadsto`` Fixpunktsatz von Banach: Hatten wir für ``\mathbb{R}^n``, jetzt für allgemeine "Banach-Räume".
"""
# ╔═╡ 54d622f5-ebdf-49cb-b15e-5f018a853a60
md"""
##### Definition:
Ein Vektorraum ``V`` mit einer Norm ``\|\cdot\|`` heißt _Banach-Raum_,
falls ``V`` vollständig ist, das heißt, jede Cauchy-Folge ``(v_n)_{n \in \mathbb N}\subset V``
konvergiert bzgl. ``\|\cdot\|`` gegen ein ``v\in V``.
"""
# ╔═╡ 37d741d4-3943-4314-b89e-53580da973bf
md"""
##### Satz:
Sei $V$ ein Banachraum und $T:V\to V$ eine kontrahierende Selbstabbildung. Dann hat $T$ einen Fixpunkt $v\in V$ mit `` T(v)=v``.
"""
# ╔═╡ 2ec8ffcb-0f15-4831-b834-bc60b73eb7e1
md"""
##### Beweis:
Genau wie für ``V = \mathbb R^n``. Wir brauchen lediglich die Vollständigkeit des Raumes, damit Cauchyfolgen konvergieren.
"""
# ╔═╡ 1747216b-9f65-45e1-b83f-618bc0ecdc12
md"""
Unser Fall:
`` y\in C_0[I]`` Lösung der ODE ``\Leftrightarrow \text{Fixpunkt von } T ``:
`` T(u)(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,u(s))\; \text ds, \qquad ``hier ``V\; \widehat= \; \text C_0[I]. ``
Wir benötigen, um den Fixpunktsatz anwenden zu können:
1. ``T`` ist Kontraktion ``\quad \|T(u)-T(v)\|\le c\|u-v\| \quad c<1``
2. ``T`` ist Selbstabbildung ``\quad u\in V \;\Rightarrow\; T(u)\in V``
3. ``V\; \widehat= \;\text C_0[I]`` ist vollständig (!!)
"""
# ╔═╡ ab88ce35-aadf-4406-b8a5-ab97f8789d04
md"""
##### Satz:
`` \text C_0[I]=\{\,v:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n \mid v \text{ stetig}\,\}`` ist vollständig bzgl. der Maximumsnorm `` \|v\|_{\infty} = \max_{t\in I}\|v(t)\|_\infty, `` wobei ``\|\cdot\|_\infty`` die ``\infty``-Norm in ``\mathbb{R}^n`` ist.
"""
# ╔═╡ d3955507-98d6-4169-8a1a-37a5d7e68d52
md"""
##### Beweis (für ``n=1``):
Sei ``(v_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset \text C_0[I]`` eine Cauchy-Folge, d.h.
`` \forall \varepsilon>0\ \exists n_0\in\mathbb{N}:\ \|v_n-v_m\|_\infty\le \varepsilon \quad`` für ``n,m > n_0. ``
Zu zeigen: Die Grenzfunktion ``v`` existiert (i) und ist stetig (ii).
Zu (i): Für jedes ``t\in I`` ist ``(v_k(t))\subset\mathbb{R}`` eine Cauchy-Folge in ``\mathbb{R}`` und konvergiert daher gegen ein ``v(t)\in\mathbb{R}``. Also konvergiert ``v_k`` punktweise gegen eine Funktion ``v``.
Zu (ii): Stetigkeit von ``v``: ``\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \Rightarrow |t-t_0|\leq \delta \Rightarrow |v_n(t)-v_n(t_0)| < \varepsilon``.
``\begin{align*} |v(t)-v(t_0)| &= |v(t)-v_n(t) + v_n(t)-v_n(t_0) + v_n(t_0)-v(t_0)| \\ &\leq |v(t)-v_n(t)|+|v_n(t)-v_n(t_0)|+|v_n(t_0)-v(t_0)| \\ &\leq 2\|v-v_n\|_\infty + |v_n(t)-v_n(t_0)| \end{align*}``
Wähle ``n`` groß genug, sodass ``\lvert v - v_n \rvert _{ \infty} \leq \frac{\varepsilon}3`` (``v_n`` konvergiert gegen ``v``). Außerdem ist ``v_n`` stetig: Wähle ``\lvert t - t_0 \rvert \leq \delta`` so, dass ``\lvert v_n(t) - v_n(t_0) \rvert \leq \frac{\varepsilon}3 \Rightarrow \lvert v(t) - v(t_0) \rvert \leq \varepsilon``.
"""
# ╔═╡ 97eaa0cb-59ba-45f3-8c55-7979b94993dd
md"""
##### Bemerkung:
`` C_0[I] `` ist _nicht_ vollständig bzgl. `` \|v\|_2:=\sqrt{\int_a^b v(t)^2\; \text dt} \quad (I=[a,b]), `` d.h. es existiert eine Cauchy-Folge `` (v_k)\subset \text C_0[I] `` bzgl. ``\|\cdot\|_2``, die gegen eine Fkt. `` v\notin \text C_0[I] `` konvergiert.
"""
# ╔═╡ 967c9a7f-3035-48a4-82a2-66ec4d86fecc
md"""
##### Satz von Picard-Lidelöf:
Die Funktion `` f:[a,b]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n `` sei (global) Lipschitz-stetig bzgl. ``y \in \mathbb R^n``, d.h.
``\|f(t,y)-f(t,z)\|\leq L\|y-z\|, \qquad L>0,\ \forall t\in[a,b], \forall y,z\in\mathbb{R}^n. ``
Dann hat das AWP `` y'=f(t,y)`` für ``t\in[a,b]`` mit ``y(t_0)=y_0 ``
für jedes ``t_0\in[a,b]`` und ``y_0\in\mathbb{R}^n`` eine eindeutige Lösung
`` y\in \text C^0([a,b],\mathbb{R}^n). ``
"""
# ╔═╡ a9aeb234-1b7d-45dd-9709-7c4b79420efc
md"""
##### Beweis:
Setze ``V=\text C^0([a,b],\mathbb{R}^n)`` und definiere den Operator `` T:V\to V,
v\mapsto T(v)`` und `` T(v)(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,v(s)) \;\text{d}s ,\quad t\in[a,b] ``
(i): ``T(v)`` ist stetig nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
(ii): ``T`` Kontraktion?
``\begin{align*} \|T(u)(t)-T(v)(t)\|_\infty &\leq \max_{k} \int_{t_0}^t \|f_k(s,u(s))-f_k(s,v(s))\|\;\text{d}s \\ &\leq L\max_{k}\int_{t_0}^t \|u(s)-v(s)\|\;\text{d}s\\ &\leq L\|u-v\|_\infty |t-t_0| \end{align*}``
Wähle ``t=t^*`` so, dass ``L(t^*-t_0)=c<1``, dann `` \|T(u)-T(v)\|_\infty\leq c\|u-v\|_\infty. ``
(iii): ``V`` ist vollständig.
Mit Banach gibt es einen eindeutigen Fixpunkt ``y\in \text C^0([t_0,t^*],\mathbb{R}^n)`` mit ``y=T(y)``.
Jetzt starten wir bei ``t_0 = t^\ast`` und ``y_0 = y(t^\ast)`` und argumentieren analog, usw. bis ``t^\ast = b``. Genauso rückwärts für ``t